2026年版・7-3

線形代数・微分と評価指標の計算の一問一答

G検定（ジェネラリスト検定）「AIに必要な数理・統計知識」から、線形代数・微分と評価指標の計算に関する4択問題を10問。「答えと解説を見る」を開くと、正解とその理由がその場で読めます。会員登録は不要です。

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問題

上から順に解いてみてください。答えは各問の下で確認できます。本試験は多肢選択式で、問い方は問題ごとに異なりますが、ここでは4択で出題しています。

問17-3

2行3列の行列Aと、3行4列の行列Bの積ABとして得られる行列の大きさとして、最も適切なものを1つ選びなさい。

①3行3列
②4行2列
③2行4列
④2行3列

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正解 ③2行4列

解説
行列の積ABは、Aの列の数とBの行の数が等しいときにだけ計算できます。本問ではAの列の数が3、Bの行の数が3で等しいので、積を計算できます。積として得られる行列の大きさは「Aの行の数 × Bの列の数」になるので、2行4列です。ニューラルネットワークでは、入力と重みの計算を行列の積で一度に行うため、行列の大きさの関係を理解しておくことが大切です。

他の選択肢が不適切な理由
・3行3列：Aの列の数とBの行の数（どちらも3）を組み合わせたもので、積の大きさではありません。
・4行2列：BAの順で考えた場合のような大きさですが、本問はABであり、またBAはBの列の数4とAの行の数2が異なるため計算できません。
・2行3列：Aの大きさのままで、積の大きさではありません。

覚え方のポイント
「(m×n) × (n×p) ＝ (m×p)」。内側の数字（n）がそろっていれば計算でき、外側の数字（mとp）が結果の大きさになる、と覚えましょう。

問27-3

行列 [[1, 2], [3, 4]] と、縦ベクトル [5, 6] の積として、最も適切なものを1つ選びなさい。

①[5, 12, 15, 24]
②[23, 34]
③[39, 17]
④[17, 39]

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正解 ④[17, 39]

解説
行列と縦ベクトルの積は、行列の各行とベクトルの内積を計算して求めます。
1行目：1 × 5 ＋ 2 × 6 ＝ 5 ＋ 12 ＝ 17
2行目：3 × 5 ＋ 4 × 6 ＝ 15 ＋ 24 ＝ 39
したがって、積は [17, 39] となります。ニューラルネットワークの1つの層の計算は、このような「重みの行列 × 入力のベクトル（＋バイアス）」の形で表されます。

他の選択肢が不適切な理由
・[5, 12, 15, 24]：各要素を掛けただけで、足し合わせていません。
・[23, 34]：行列の列とベクトルの内積（1×5＋3×6、2×5＋4×6）を計算してしまった値です。行列の「行」とベクトルの内積をとる必要があります。
・[39, 17]：2つの要素の並びが逆です。積の最初の要素は行列の1行目から、次の要素は2行目から計算します。

覚え方のポイント
「行列×ベクトル＝各行とベクトルの内積を並べたもの」。「行」を使う点を間違えないようにしましょう。

問37-3

2次元の平面上の2点 (1, 2) と (4, 6) の間のユークリッド距離として、最も適切なものを1つ選びなさい。

①5
②7
③25
④3.5

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正解 ①5

解説
ユークリッド距離は、2点間の直線距離で、各座標の差を2乗して足し合わせ、その平方根をとって求めます。
x座標の差：4 − 1 ＝ 3、y座標の差：6 − 2 ＝ 4
距離＝ √（3² ＋ 4²）＝ √（9 ＋ 16）＝ √25 ＝ 5
ユークリッド距離は、k近傍法やk-means法などで、データどうしの近さを測るために使われます。

他の選択肢が不適切な理由
・7：座標の差の絶対値を足し合わせた値（3＋4）で、「マンハッタン距離」と呼ばれる別の距離です。
・25：座標の差の2乗の和で、平方根をとっていません。
・3.5：座標の差の平均で、距離ではありません。

覚え方のポイント
「ユークリッド距離＝三平方の定理で求める直線距離」「マンハッタン距離＝碁盤の目の道を進むときの距離（差の絶対値の和）」。どちらもよく使われる距離の測り方です。

問47-3

2つのベクトル a ＝ (1, 0) と b ＝ (1, 1) のコサイン類似度として、最も適切なものを1つ選びなさい。

①1
②約0.71
③0
④約1.41

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正解 ②約0.71

解説
コサイン類似度は、2つのベクトルの向きがどれだけ近いかを表す指標で、内積を、それぞれのベクトルの長さ（ノルム）の積で割って求めます。
内積：1 × 1 ＋ 0 × 1 ＝ 1
長さ：|a| ＝ 1、|b| ＝ √（1² ＋ 1²）＝ √2
コサイン類似度＝ 1 ÷（1 × √2）＝ 1/√2 ≒ 0.71
2つのベクトルは45度の角度をなしており、cos45° ≒ 0.71 と一致します。

他の選択肢が不適切な理由
・1：2つのベクトルがまったく同じ向きのときの値です。
・0：2つのベクトルが直交している（90度）ときの値です。
・約1.41：√2の値で、ベクトルbの長さです。コサイン類似度は−1から1の範囲をとるため、1を超えることはありません。

覚え方のポイント
「コサイン類似度＝向きの近さ（長さは無関係）」「1＝同じ向き、0＝直交、−1＝逆向き」。文章や単語の意味の近さを測るのに広く使われます。

問57-3

関数 f(x, y) ＝ x²y ＋ 3y を x について偏微分した結果として、最も適切なものを1つ選びなさい。

①x² ＋ 3
②2xy ＋ 3
③2xy
④2x

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正解 ③2xy

解説
偏微分は、複数の変数を持つ関数について、注目する1つの変数以外を定数とみなして微分することです。xについて偏微分するときは、yを定数として扱います。
x²y をxで微分すると、yは定数なので 2x × y ＝ 2xy
3y はxを含まないので、xで微分すると 0
したがって、∂f/∂x ＝ 2xy となります。ニューラルネットワークの学習では、多数の重みそれぞれについて誤差関数を偏微分し、その値（勾配）を使って重みを更新します。

他の選択肢が不適切な理由
・x² ＋ 3：yについて偏微分した結果（∂f/∂y）です。
・2xy ＋ 3：3yをxで微分すると0になることを見落とし、3を残してしまっています。
・2x：x²yのyを掛け忘れた値です。yは定数として残ります。

覚え方のポイント
「偏微分＝ほかの変数は定数として止めて微分する」。各変数についての偏微分を並べたものが「勾配（勾配ベクトル）」です。

問67-3

シグモイド関数 σ(x) の微分は σ(x)(1 − σ(x)) で表される。x ＝ 0 のときの微分の値として、最も適切なものを1つ選びなさい。ただし、σ(0) ＝ 0.5 である。

①0.5
②1
③0
④0.25

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正解 ④0.25

解説
シグモイド関数の微分は σ(x)(1 − σ(x)) で表されます。x ＝ 0 のとき σ(0) ＝ 0.5 なので、
0.5 ×（1 − 0.5）＝ 0.5 × 0.5 ＝ 0.25
となります。この0.25が、シグモイド関数の微分の最大値です。xが0から離れるほど、微分の値は0に近づいていきます。中間層でシグモイド関数を使うと、誤差逆伝播で0.25以下の値が何度も掛け合わされるため、勾配消失が起こりやすくなります。

他の選択肢が不適切な理由
・0.5：σ(0)の値そのもので、微分の値ではありません。
・1：tanhの微分の最大値や、ReLUの正の範囲での微分の値です。
・0：xの絶対値が非常に大きいときに、シグモイド関数の微分が近づいていく値です。

覚え方のポイント
「シグモイド関数の微分の最大値＝0.25（x＝0のとき）」。勾配消失問題の理由を、この数値で説明できるようにしておきましょう。

問77-3

誤差関数 f(w) ＝ w² を、勾配降下法で最小化する。現在の w ＝ 3、学習率＝ 0.1 のとき、1回更新した後の w の値として、最も適切なものを1つ選びなさい。

①2.4
②2.7
③3.6
④2.9

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正解 ①2.4

解説
勾配降下法では、「新しいw ＝現在のw − 学習率 × 勾配」の式でパラメータを更新します。
f(w) ＝ w² の勾配（微分）は 2w なので、w ＝ 3 のときの勾配は 2 × 3 ＝ 6 です。
新しいw ＝ 3 − 0.1 × 6 ＝ 3 − 0.6 ＝ 2.4
f(w) ＝ w² は w ＝ 0 で最小になるため、w が 3 から 2.4 へと、最小の点に近づいていることが分かります。

他の選択肢が不適切な理由
・2.7：勾配を 2w ではなく w（＝3）として計算した値です（3 − 0.1 × 3）。
・3.6：勾配の方向に進んでしまった値です（3 ＋ 0.6）。誤差を小さくするには、勾配と逆の方向に進みます。
・2.9：学習率をそのまま引いた値（3 − 0.1）で、勾配を掛けていません。

覚え方のポイント
「w ← w − 学習率 × 勾配」。マイナスの符号が「勾配と逆方向に進む（下り坂を下る）」ことを表しています。

問87-3

2クラス分類の予測結果が、真陽性40件、偽陽性10件、偽陰性20件、真陰性30件であった。このモデルの再現率（Recall）として、最も適切なものを1つ選びなさい。

①0.8
②約0.67
③0.7
④0.4

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正解 ②約0.67

解説
再現率は、実際に陽性であるもののうち、モデルが正しく陽性と予測できた割合で、次の式で求めます。
再現率＝真陽性 ÷（真陽性＋偽陰性）＝ 40 ÷（40 ＋ 20）＝ 40 ÷ 60 ≒ 0.67
実際に陽性だったのは、正しく陽性と予測できた40件と、陰性と誤って予測してしまった（見逃した）20件の合計60件です。

他の選択肢が不適切な理由
・0.8：適合率（Precision）の値です。適合率＝真陽性 ÷（真陽性＋偽陽性）＝ 40 ÷ 50 ＝ 0.8。
・0.7：正解率（Accuracy）の値です。正解率＝（真陽性＋真陰性）÷ 全体＝ 70 ÷ 100 ＝ 0.7。
・0.4：真陽性の件数を全体の件数で割った値（40 ÷ 100）で、再現率ではありません。

覚え方のポイント
「再現率＝TP÷(TP＋FN)＝見逃さなかった割合」「適合率＝TP÷(TP＋FP)＝陽性予測の当たりの割合」「正解率＝(TP＋TN)÷全体」。分母が何かを確認すれば、計算問題は確実に解けます。

問97-3

表と裏が同じ確率（1/2ずつ）で出る公平なコインを1回投げるときの結果の不確かさを、底を2とする対数で求めたエントロピー（情報量の期待値）として、最も適切なものを1つ選びなさい。

①0ビット
②0.5ビット
③1ビット
④2ビット

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正解 ③1ビット

解説
エントロピーは、結果の予測しにくさ（不確かさ）を表す指標で、各結果の確率pについて −p × log₂p を計算し、すべて足し合わせて求めます。公平なコインでは、表と裏の確率がそれぞれ1/2なので、
−（1/2 × log₂(1/2) ＋ 1/2 × log₂(1/2)）＝ −（1/2 ×（−1）＋ 1/2 ×（−1））＝ 1
となり、エントロピーは1ビットです。表か裏かの2択が完全に五分五分で、最も予測しにくい状態にあたります。

他の選択肢が不適切な理由
・0ビット：必ず表が出るコインのように、結果が確実に決まっている場合のエントロピーです。
・0.5ビット：確率の値そのものと混同した値です。
・2ビット：4つの結果が同じ確率で起こる場合（たとえばコインを2回投げる場合）のエントロピーです。

覚え方のポイント
「エントロピー＝予測しにくさ」「確実な結果＝0」「五分五分の2択＝1ビット」。決定木の分割の基準（情報利得）や、交差エントロピー誤差の土台となる考え方です。

問107-3

回帰モデルの3件のデータについて、予測値と正解値の差（誤差）がそれぞれ 1、−2、3 であった。このときの平均二乗誤差（MSE）として、最も適切なものを1つ選びなさい。

①2
②約2.16
③約0.67
④約4.67

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正解 ④約4.67

解説
平均二乗誤差（MSE）は、各データの誤差を2乗して平均した値です。
誤差の2乗：1² ＝ 1、（−2）² ＝ 4、3² ＝ 9
合計：1 ＋ 4 ＋ 9 ＝ 14
MSE ＝ 14 ÷ 3 ≒ 4.67
となります。

他の選択肢が不適切な理由
・2：誤差の絶対値の平均で、平均絶対誤差（MAE）の値です（（1＋2＋3）÷3＝2）。
・約2.16：MSEの平方根で、二乗平均平方根誤差（RMSE）の値です（√4.67≒2.16）。
・約0.67：誤差をそのまま平均した値（（1−2＋3）÷3）です。プラスとマイナスの誤差が打ち消し合ってしまうため、誤差の大きさの指標としては使えません。

覚え方のポイント
同じ誤差のデータから「MSE（2乗の平均）」「RMSE（その平方根）」「MAE（絶対値の平均）」を計算し分けられるようにしておきましょう。誤差を2乗や絶対値にするのは、プラスとマイナスが打ち消し合わないようにするためです。

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※本ページの問題・解説は、生成AI（人工知能）を活用して作成しています。